מרתה ארגריץ' נולדה בבואנוס איירס שבארגנטינה והחלה ללמוד נגינה בפסנתר בגיל חמש אצל וינסנצו סקרמוצה. ב־1955 עברה לאירופה והמשיכה את לימודיה בלונדון, בווינה ובשווייץ אצל ברונו זיידלהופר, פרידריך גולדה, ניקיטה מגלוף, מדלן ליפטי וסטפן אשכנזי. ב־1957 זכתה בתחרויות הפסנתר בבולצנו ובז'נבה וב־1965 בתחרות שופן הבינלאומית בוורשה. מאז היתה לאחת הפסנתרניות הבולטות ביותר בעולם.
הרפרטואר הנרחב שלה כולל יצירות מאת באך, ברטוק, בטהובן ומסיאן וכן יצירות מאת שופן, שומאן, ליסט, דביסי, ראוול, פרנק, פרוקופייב, סטרווינסקי, שוסטקוביץ' וצ'ייקובסקי. היא מוזמנת בקביעות להופיע עם התזמורות המובילות, המנצחים הנודעים ובפסטיבלים החשובים באירופה, ביפן ובאמריקה, אולם מקדישה חלק ניכר מחייה המוזיקלים לנגינת מוזיקה קאמרית. היא מנגנת בקביעות עם נלסון פריירה, אלכסנדר רבינוביץ', מישה מאיסקי, גדעון קרמר ודניאל בארנבוים.
הקלטותיה הרבות זיכוה בפרסים יוקרתיים, לרבות הגראמי, פרס גרמופון, פרס מבקרי ההקלטות הגרמנים ופרס מגזין מוזיקה של ה־BBC. רבות מהופעותיה שודרו בטלוויזיה ברחבי העולם. מ־1998 היא משמשת כמנהלת אמנותית של פסטיבל בפו ביפן, ב־1999 יסדה את תחרות הפסנתר הבינלאומית ואת פסטיבל מרתה ארגריץ' בבואנוס איירס ובשנת 2002 את פרויקט מרתה ארגריץ' בלוגנו.
מרתה ארגריץ' זכתה באותו כבוד רבים, בהם קצינת מסדר האומנויות והספרות (1996) ומפקדת מסדר האומנויות והספרות (2004) מטעם ממשלת צרפת, מוזיקאית השנה מטעם כתב העת מיוזיקל אמריקה (2001), אות מסדר השמש העולה מטעם קיסר יפן והפרס הקיסרי היוקרתי מטעם אגודת האומנות ביפן (2006) וכן אות הכבוד של מרכז קנדי בוושינגטון (2016).