מרתה ארגריץ' נולדה בבואנוס איירס שבארגנטינה והחלה ללמוד נגינה בפסנתר בגיל חמש אצל וינסנצו סקרמוצה. בת שמונה כבר הופיעה עם תזמורות ב־1955 עברה לאירופה והמשיכה את לימודיה בלונדון, בווינה ובשווייץ אצל ברונו זיידלהופר, פרידריך גולדה, ניקיטה מגלוף, מדלן ליפטי, מיכלאנג'לי וסטפן אשכנזי. ב־1957 זכתה בתחרויות הפסנתר בבולצנו ובז'נבה וב־1965 בתחרות שופן הבינלאומית בוורשה. מאז היתה לאחת הפסנתרניות הבולטות ביותר בעולם.
הרפרטואר הנרחב שלה כולל יצירות מאת באך ועד מסיא, ארגריץ'מוזמנת בקביעות להופיע עם התזמורות המובילות, המנצחים הנודעים ובפסטיבלים החשובים באירופה, ביפן ובאמריקה, אולם מקדישה חלק ניכר מחייה המוזיקלים לנגינת מוזיקה קאמרית. היא מנגנת בקביעות עם מישה מאיסקי, גדעון קרמר, דניאל בארנבוים נלסון פריירה ואלכסנדר רבינוביץ' איתם ניגנה דואטים, לשני פסנתרים ובארבע ידיים.

הקלטותיה הרבות בחברות נחשבות כמו דויטשה גרמופון, Sony Music ו- EMI זיכוה בפרסים יוקרתיים, לרבות הגראמי, פרס גרמופון, פרס מבקרי ההקלטות הגרמנים ופרס מגזין מוזיקה של ה־BBC. . מ־1994 היא משמשת כמנהלת אמנותית של פסטיבל בפו ביפן, הקשר ארוך השנים שלה עם העיר כולל את הקונצרט ההיסטורי “Beppu Argerich Concert ’95”, שסימן את רסיטל הסולו הראשון שלה מזה עשר שנים.  מאז 1994 מכהנת ארחריץ’ כמנהלת מוזיקלית של כבוד באולם הפילהרמוניה בבפו שביפן. היא זכתה להוקרה רחבה, כולל עיטור Ordre des Arts et des Lettres (דרגת קצינה), חברות באקדמיה הלאומית סנטה צ’צ’יליה ואזרחות כבוד של מחוז אויטה.

ב־1998 יסדה את תחרות הפסנתר הבינלאומית ואת פסטיבל מרתה ארגריץ' בבואנוס איירס שם קידמה שיתופי פעולה בינלאומיים והדריכה מוזיקאים צעירים ובשנת 2002 את פרויקט מרתה ארגריץ' בלוגנו.
מרתה ארגריץ' זכתה באותות כבוד רבים, בהם קצינת מסדר האומנויות והספרות (1996) ומפקדת מסדר האומנויות והספרות (2004) מטעם ממשלת צרפת, מוזיקאית השנה מטעם כתב העת מיוזיקל אמריקה (2001), אות מסדר השמש העולה מטעם קיסר יפן והפרס הקיסרי היוקרתי מטעם אגודת האומנות ביפן (2006) וכן אות הכבוד של מרכז קנדי בוושינגטון (2016).

היא ממשיכה להשפיע על תרבות המוזיקה העולמית באמצעות הופעות, חינוך והובלה אמנותית.

.